1000+ Materi Pengertian Dan Jenis-Jenis Matriks Matematika Lengkap /Semua Udah Terbaru

Pengertian Matriks - Dalam artikel kali ini akan membahas materi mengenai definisi atau pengertian matriks matematika serta unsur - unsur yang ada di dalamnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan baik - baik pembahasan berikut ini:

Pengertian dan Jenis-Jenis Matriks Matematika

Definisi Matriks Dalam matematika, matriks merupakan kumpulan bilangan, simbol atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks.

Selanjutnya, secara umum matriks bisa diartikan sebagai sebuah susunan atau kumpulan dari beberapa bilangan yang disusun berdasarkan kepada baris dan kolom yang bentuknya persegi panjang. Matriks mempunyai ciri khas khusus dimana biasanya bilangan yang menjadi elemen dari sebuah matriks disusun dengan diapit oleh tanda kurung siku [] namun terkadang ada juga elemen matriks yang diapit oleh tanda kurung biasa ().

Ukuran dari sebuah matriks disebut dengan ordo yang menjelaskan jumlah dari kolom dan baris yang ada di dalam matriks tersebut.

Ukuran dari sebuah matriks bisa disimbolkan dengan rumus sebagai berikut :
Amxn

A = Nama Matriks
m = jumlah baris
n = jumlah kolom
mxn = ordo matriks

Contoh :
Jangan sampai terbalik dalam membaca ordo matriks, ingatlah bahwa ordo matriks merupakan banyaknya baris dikali dengan banyaknya kolom.

Diagonal Utama dan Diagonal Sekunder Pada Matriks Di dalam materi mengenai matriks juga dikenal dengan istilah diagonal. Terdapat dua jenis diagonal di dalam matriks yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan garis miring yang ditarik dari sisi kiri atas matriks menuju sisi kanan bawah matriks. Sementara diagonal sekunder adalah kebalikannya. Seperti bisa dilihat pada gambar di bawah ini :


Jenis-Jenis Matriks Berdasarkan Banyaknya Baris dan Kolom Matriks Persegi
Merupakan matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama, misalnya 4x4, 2x2, atau 5x5. Sehingga ordonya dialmbangkan n x n.

Matriks Baris
Adalah matriks yang hanya memiliki satu buah baris namun memiliki beberapa kolom. Matriks ini ordonya adalah 1 x n dimana n harus lebih besar dari 1.
Contohnya 1 x 2, 1 x 4, 1 x 5, 1 x 6, dan lain sebagainya.

Matriks Kolom
Merupakan kebalikan dari matriks baris. Hanya terdiri dari satu kolom namun memiliki beberapa baris. Ordo dari matriks ini adalah n x 1 dimana n harus lebih besar dari 1.
Contohnya adalah 2 x 1, 3 x 1, 4 x 1, 5 x 1, dan lain sebagainya.


Matriks Mendatar
Adalah matriks yang mempunyai jumlah kolom yang lebih banyak dibandingkan jumlah barisnya. Contohnya adalah 3 x 5, 4 x 6, dan lain sebagainya.

Matriks Tegak
Merupakan kebalikan dari matriks mendatar dimana jumlah barisnya lebih banyak dibandingkan jumlah kolomnya.
Contohnya adalah 6 x 3, 4 x 2, 8 x 5, dan lain sebagainya.


Jenis Matriks Berdasarkan Pada Pola Elemennya Matriks Nol
Merupakan matriks dengan ordo m x n dimana seluruh elemennya memiliki nilai nol.

Matriks Diagonal
Merupakan matriks persegi yang elemennya bernilai nol kecuali pada diagonal utamanya.

Matriks Identitas
Adalah matriks yang diagonal utamanya di isi dengan elemen bernilai 1 sementara elemen yang lain nilainya adalah nol.


Matriks Segitiga Atas
Adalah matriks yang keseluruhan nilai di bawah diagonal utamanya adalah nol.

Matriks Segitiga Bawah
Merupakan kebalikan dari matriks segitiga atas dimana seluruh elemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai nol.

Matriks Simetris
Merupakan sebuah matriks dimana elemen yang ada di atas dan di bawah diagonal utamanya memiliki susunan nilai yang sama.

Matriks Skalar
Merupakan matriks yang memiliki elemen diagonal utama bernilai sama sementara elemen yang lain nilainya adalah nol.


Demikianlah pembahasan materi mengenai Pengertian dan Jenis-jenis Matriks Matematika Lengkap. Semoga artikel ini bisa memberikan pengetahuan yang baik bagi kalian terutama tentang matriks matematika.
Selamat belajar dan semoga bermanfaat!

1000+ Pengertian Transpose Matriks Sifat-sifatnya Serta Contoh Soal Dan Pembahasan /Semua Udah Terbaru

Pengertian Transpose Matriks  - Yang dimaksud dengan transpose matriks yaitu ketika pada sebuah matriks dilakukan pertukaran antara dimensi kolom dan barisnya. Definisi lain dari transpose matriks adalah sebuah matriks yang didapatkan dengan cara memindahkan elemen - elemen pada kolom menjadi elemen baris dan sebaliknya. Biasanya sebuah matriks transpose disimbolkan dengan menggunakan lambang tanda petik (A') ataupun dengan hurut T kecil di atas (AT). Perhatikan gambar berikut ini :

Pengertian Transpose Matriks, Sifat-sifatnya serta Contoh Soal dan Pembahasan

Berdasarkan gambar di atas dapat didefinisikan bahwa matriks m x n berubah menjadi m x n. Jika diperhatikan, elemen-elemen yang ada pada baris satu berubah posisi menjadi elemen kolom 1. Elemen pada baris 2 berubah menjadi elemen pada kolom 2, begitu juga dengan elemen pada baris ke-3 berubah posisi menjadi elemen kolom ke-3. Sekarang perhatikan baik-baik sifat-sifat yang berlaku untuk transpose matriks.

Sifat - Sifat Matriks Transpose Transpose matriks memiliki beberapa sifat yang menjadi dasar di dalam operasi perhitungan matriks, yaitu :
(A + B)T = AT + BT (AT)T = A λ(AT) = (λAT), bila λ suatu scalar (AB)T = BT AT

Contoh Soal dan Pembahasan Transpose Matriks Berikut adalah salah satu contoh soal tentang transpose matriks dan pembahasan mengenai cara menjawab dan menyelesaikannya :


Demikianlah pembahasan materi mengenai Pengertian Transpose Matriks, Sifat-sifatnya serta Contoh Soal dan Pembahasan. Semoga kalian bisa memahami penjelasan dan contoh soal yang diberikan dengan mudah sehingga kalian tidak akan mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan materi ini.
Selamat belajar dan semoga bermanfaat!

1000+ Materi Rumus Barisan Dan Deret Geometri Lengkap /Semua Udah Terbaru

Rumus Barisan dan Deret Geometri - Di dalam matematika terdapat dua jenis barisan dan deret. Yang pertama adalah barisan dan deret aritmatika dan yang kedua adalah barisan dan deret geometri. Dalam artikel sebelumnya telah disampaikan materi mengenai Barisan dan Deret Aritmatika, maka kali ini materi yang akan dibahas difokuskan kepada penjelasan mengenai definisi dan rumus-rumus yang digunakan dalam barisan dan deret geometri.
Pengertian dan Rumus Barisan Geometri Barisan geometri didefinisikan sebagai barisan yang tiap-tiap sukunya didapatkan dari hasil perkalian sebelumnya dengan sebuah konstanta tertentu.

Contoh Barisan Geometri

3, 9, 27, 81, 243, ...

Barisan di atas merupakan contoh barisan geometri dimana setiap suku pada barisan tersebut merupakan hasil dari perkalian suku sebelumnya dengan konstanta 3. Maka disimpulkan bahwa rasio pada barisan di atas adalah 3. Rasio pada suatu barisan bisa dirumuskan menjadi :
r = ak + 1/ak

dimana ak adalah sembarang suku dari barisan yang ada. Sementara ak+1 adalah suku selanjutnya setelah ak.

Untuk menentukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri, kita bisa menggunakan rumus :
Un = arn-1
dimana a merupakan suku awal dan r adalah nilai rasio dari sebuah barisan geometri.


Perhatikan baik-baik penggunaan rumus di atas dalam menyelesaikan soal :

Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Geometri
Contoh Soal 1 :
Sebuah bakteri mampu melakukan pembelahan diri menjadi 4 setiap 12 menit. Berapakah jumlah bakteri yang ada setelah 1 jam apabila sebelumnya terdapat 3 buah bakteri?

Penyelesaian :
a = 3
r = 4
n = 1 jam/12 menit = 60/12 = 5
Masukkan ke dalam rumus
Un = arn-1
U5 = 3 x 45-1
      = 3 x 256
      = 768 bakteri

Pengertian dan Rumus Deret Geometri Deret geometri bisa diartikan sebagai jumlah dari n suku pertama pada sebuah barisan geometri. Jika suku ke-n dari suatu barisan geometri digambarkan dengan rumus : an = a1rn-1, maka deret geometrinya dijabarkan menjadi :
Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + ... + a1rn-1

Apabila kita mengalikan deret geometri di atas dengan -r, lalu kita jumlahkan hasilnya dengan deret aslinya, maka kita akan memperoleh :

Setelah diperoleh Sn - rSn = a1 - a1rn maka kita bisa mengetahui nilai dari suku n pertama dengan cara berikut :

Berdasarkan hasil perhitungan di atas, kita bisa menyimpulkan bahwa rumus jumlah n suku pertama pada sebuah barisan geometri adalah :

Perhatikan cara penggunaan rumus tersebut pada contoh soal berikut ini :
Contoh Soal Deret Geometri
Contoh Soal 2:
Tentukanlah jumlah 8 suku pertama dari barisan geometri 2, 8, 32, ...

Pembahasan :
a = 2
r = 4
n = 8
Sn = a (1-r) / (1-r)
     = 2 (1-4) / (1-4)
     = 2 (1 - 65536) / (-3)
     = 2 (-65535) / (-3)
     = 2 x 21845
     = 43690


Demikianlah pembahasan materi mengenai Rumus Barisan dan Deret Geometri dilengkapi Dengan Pembahasan Contoh Soal. Semoga kalian bisa memahami pembahasan materi ini dengan mudah sehingga kalian tidak akan mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan artikel ini.
Selamat belajar dan semoga bermanfaat!

1000+ Pengertian Fungsi Dan Macam-Macam Fungsi Dalam Matematika /Semua Udah Terbaru

Belajar Matematikaku - Dalam artikel sebelumnya telah dijelaskan materi mengenai Pengertian Relasi beserta cara penyajiannya, kali ini Belajar Matematikaku akan membahas materi mengenai Pengertian Fungsi dan Macam-macam Fungsi dalam Matematika. Relasi dan fungsi memiliki hubungan yang erat karena masih membahas mengenai hubungan antar himpunan. Ada banyak contoh yang bisa menggambarkan sebuah relasi antara satu himpunan dengan himpunan yang lainnya seperti bisa kalian lihat pada gambar berikut ini :


Gambar di atas menunjukkan relasi antara sebuah negara dengan ibukotanya. Pada diagram tersebut kita bisa melihat bahwa tiap-tiap anggota pada himpunan A memiliki pasangan yang tepat pada masing - masing anggota himpunan B. Contoh lain dari relasi bisa kalian lihat pada diagram panah berikut ini :

Sama halnya dengan diagram panah yang pertama, pada diagram panah ini masing-masing anggota pada himpunan P memiliki pasangan yang tepat pada tiap anggota himpunan Q. Konsep relasi antara kedua himpunan (A dan B) serta (P dan Q) dikenal dengan sebutan Fungsi atau Pemetaan. Artinya kedua diagram tersebut bisa disebut dengan fungsi A ke B atau fungsi P ke Q.

Berdasarkan contoh di atas disimpulkan bahwa definisi dari fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan tiap-tiap anggota yang ada pada suatu himpunan tepat dengan tiap-tiap anggota yang ada pada himpunan lainnya.

Pengertian dan Macam-Macam Fungsi dalam Matematika

Ketika berbicara mengenai fungsi, maka kita harus mulai terbiasa dengan beberapa istilah yang digunakan di dalamnya, diantaranya yaitu :

Domain = daerah asal
Kodomain = daerah lawan
Range = daerah hasil

Agar kalian bisa memahami istilah-istilah di atas, perhatikan baik-baik contoh soal berikut ini :
Contoh Soal :
Sebuah fungsi f dari himpunan F dan G dinyatakan dalam aturan x + 3, x F. Jika diketahui bahwa F = {2, 3, 5, 7} dan G = {1, 2, 3, ..., 12}, maka tentukanlah :
a. Himpunan pasangan berurutan dalam f
b. Domain, kodomain, dan range dari f

Penyelesaian :
a. f : x => x + 3
x = 2 => f(x) = 2 + 3 = 5
x = 3 => f(x) = 3 + 3 = 6
x = 5 => f(x) = 5 + 3 = 8 x = 7 => f(x) = 7 + 3 = 10
Maka himpunan pasangan berurutannya adalah (x(f(x)) = {(2,5), (3,6), (5,8), (7,10)}

b. Domain (daerah asal) = {2, 3, 5, 7}
    Kodomain (daerah lawan) = {1, 2, 3, ..., 12}
    Range (daerah hasil) = {5, 6, 8, 10}

Penyajian Fungsi Karena fungsi merupakan bentuk dari relasi, maka cara menyajikannya sama saja dengan cara penyajian relasi. Fungsi bisa disajikan dalam bentuk diagram panah, diagram kartesius, dan juga himpunan pasangan berurut.

Cara Menentukan Banyaknya Pemetaan atau Fungsi Banyaknya pemetaan yang terbentuk dari dua buah himpunan bisa dicari dengan menggunakan rumus yang ada pada tabel berikut ini :


Demikianlah pembahasan materi mengenai Pengertian Fungsi dan Macam-macam Fungsi dalam Matematika. Semoga kalian bisa memahami penjelasan di atas dengan mudah sehingga artikel ini bisa membantu kalian dalam mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan materi ini.
Selamat belajar dan semoga bermanfaat!

1000+ Contoh Soal Dan Penyelesaian Model Matematika Dari Suatu Program Linear /Semua Udah Terbaru

Model Matematika - Model matematika merupakan sebuah rumusan matematika yang didapatkan dari sebuah proses penafsiran sebuah kejadian sehari-hari ke dalam rumus atau bahasa matematika. Agar kalian lebih memahami cara membuat model matematika dari suatu masalah program linear.
Perhatikan baik-baik pembahasan contoh soal berikut ini.



Contoh Soal dan Penyelesaian Model Matematika Dari Suatu Program Linear Contoh Soal 1 :
Sebuah perusahan memproduksi dua jenis kue yaitu kue bolu cokelat dan bolu nanas dengan menggunakan dua buah mesin yaitu open 1 dan open 2. Untuk memproduksi kue bolu cokelat, open 1 harus beroperasi selama 3 menit dan open 2 selama 6 menit. sedangkan untuk memproduksi bolu nanas, open 1 harus beroperasi selama 9 menit dan open 2 beroperasi selama 6 menit. open 1 dan open 2 hanya bisa beroperasi tidak lebih dari 9 jam dalam sehari. keuntungan bersih yang didapat untuk tiap kue bolu cokelat adalah Rp. 350 dan untuk kue bolu nanas adalah Rp. 700.
Cobalah untuk membuat matematika dari masalah program linear  tersebut, apabila diharap kan keuntungan bersih yang sebesar-besarnya.

Penyelesaian:
keterangan soal yang dibuat dalam bentuk tabel sebagai berikut:
Kita misalkan kue bolu coklat diproduksi sebanyak p buah dan kue bolu nanas diproduksi sebanyak q buah, maka :
Waktu operasi yang dibutuhkan untuk open 1 = 3p + 9q
Waktu operasi yang dibutuhkan untuk open 2 = 6p + 6q
Dikarenakan open 1 dan open 2 tidak boleh beroperasi lebih dari 9 jam = 540 menit setiap harinya, maka harus dipenuhi pertidaksamaan berikut ini :
3p + 9q ≤ 540 -> p + 4q ≤ 180
6p + 6q ≤ 540 -> p + q ≤ 90

Perlu diingat bahwa p dan q mewakili banyaknya kue, maka p dan  q tidak mungkin bernilai negatif dan nilainya juga harus merupakan bilangan cacah. Sehingga, p dan q harus memenuhi pertidaksamaan di bawah ini :
p ≥ 0, q ≥ 0, dan p dan q ε C

Keuntungan bersih yang di dapat dalam rupiah = 350p + 700q, dan diharapkan keuntungan bersih tersebut adalah sebesar - besarnya. Jadi model matematika yang bisa dibentuk berdasarkan persoalan di atas adalah :
p ≥ 0, q ≥ 0, p + 4q ≤ 180, dan p + q ≤ 90 ; p dan q ε C
Dengan bentuk (350p + 700q) sebesar-besarnya.



Contoh Soal 2 : Sebuah pabrik farmasi menyediakan dua jenis campuran L dan M. Bahan-bahan dasar yang terkandung dalam setiap kilogram campuran L dan M bisa dilihat pada tabel di bawah ini : Dari campuran L dan M tersebut akan dibuat campuran N. Campuran N tersebut sekurang-kurangnya mengandung bahan 1 sebanyak 4kg dan bahan 2 sebanyak 3kg. Harga setiap kilogram campuran L adalah Rp. 30.000 dan setiap campuran M adalah Rp. 15.000.
Tentukan model matematika dari persamaan di atas jika biaya total untuk membuat campuran N diharapkan bisa semurah-murahnya.
Penyelesaian : Misalkan campuran N dibuat dari x kg campuran L dan y kg campuran M Bahan 1 yang terkandung = 0,4x + 0,8y Karena sekurang - kurangnya mengandung bahan 1 sebanyak 4kg, maka harus dipenuhi pertidaksamaan berikut ini : 0,4x + 0,8y ≥ 4kg -> x + 2y ≥ 10 Bahan 2 yang terkandung = 0,6x + 0,2y Karena sekurang - kurangnya mengandung bahan 2 sebanyak 3kg, maka harus dipenuhi pertidaksamaan berikut ini : 0,6x + 0,2y ≥ 3kg -> 3x + y ≥ 15
Diketahui  bahwa x dan y menyatakan jumlah berat campuran sehingga nilainya tidaklah mungkin negative dan harus dinyatakan dalam bentuk bilangan real. Maka dari itu, x dan y diharuskan memenuhi pertidaksamaan di bawah ini : x ≥ 0, y ≥ 0, x dan y  ε R
Total biaya yang diperlukan untuk membuat campuran N = 30000x + 15000y dengan biaya total yang diharapkan bisa semurah - murahnya. Maka model matematikanya adalah : x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≥ 10, dan 3x + y ≥ 15 ; x dan y ε R
Dengan bentuk (30000x + 15000y) sekecil - kecilnya.

Itulah 2 buah Contoh Soal dan Penyelesaian Model Matematika Dari Suatu Program Linear semoga artikel ini bisa membantu kalian untuk lebih bisa memahami materi pelajaran matematika SMA mengenai model matematika dan juga bisa membantu kalian semakin paham mengenai tata cara dan langkah-langkah yang harus dilakukan guna menyelesaikan persoalan - persoalan serupa. Selamat belajar dan semoga bermanfaat!

1000+ Cara Menggambar Grafik Fungsi Aljabar /Semua Udah Terbaru

Menggambar Grafik Fungsi Aljabar - Di dalam pelajaran matematika kalian pasti diajarkan mengenai cara - cara menggambarkan grafik fungsi aljabar baik yang berupa garis lurus maupun grafik fungsi aljabar dengan bentuk parabola. Grafik fungsi aljabar yang berbentuk garis lurus dinyatakan dengan persamaan fungsi linear y = f(x) = mx + n sedangkan grafik fungsi yang berbentuk parabola dinyatakan dalam fungsi kuadrat y = f(x) = ax2  + bx + c.



Catatan :
Gambar dan grafik fungsi y = f(x) disebut kurva y = f(x). Untuk selanjutnya kita sering menggunakan istilah kurva.

Cara Menggambar Grafik Fungsi Aljabar

Dalam materi ini, Belajar Matematikaku akan mengajarkan cara-cara menggambarkan kurva yang dinyatakan dengan persamaan fungsi suku banyak. Fungsi suku banyak adalah suatu fungsi dengan peubah (variabel) x yang mempunyai pangkat lebih dari dua.
Dibawah ini ada beberapa contoh :
y = f(x) = x3 + 4x2 - 16x + 2
y = f(x) = x4 + 3x3 - 12x2 - 10x + 5
y = f(x) = 2x5 - 10x + 2x + 3x + 15x + 6 .... dan seterusnya.

Kurva kurva yang dinyatakan dengan persamaan fungsi suku banyak disebut sebagai kurva suku banyak.
Dalam penerapannya, kemampuan menggambar kurva suku banyak ini merupakan modal dasar untuk mempelajari kalkulus hitung integral, misalnya untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva suku banyak dengan sumbu X dan sebagainya.

Beberapa pengertian tentang fungsi naik, fungsi turun, titik balik maksimum, titik balik minimum, titik belok horizontal, serta titik-titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat akan sangat membantu dalam menyelesaikan gambar suatu kurva suku banyak. Sebagai pedoman, berikut ini adalah langkah-langkah yang bisa kalian ikuti agar bisa menggambarkan suatu kurva suku banyak.

Langkah-langkah Menggambar Grafik Fungsi Aljabar Langkah Pertama
Buatlah terlebih dahulu analisis pendahuluan yang meliputi :
Menentukan koordinat titik-titik potong kurva dengan sumbu-sumbu koordinat (jika koordinat itu mudah ditentukan)

          (i) titik potong dengan sumbu X, dengan mengambil syarat y = 0
          (ii) titik potong dengan sumbu Y, dengan mengambil syarat x = 0

Tentukan interval-interval ketika fungsi itu naik dan ketika fungsi itu turun.
Tentukanlah titik-titik stationer serta jenisnya : titik balik maksimum, titik balik minimum, atau titik belok horizontal.
Tentukan nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval. Jika kurva itu akan digambarkan untuk semua bilangan riil, maka perlu ditentukan nilai-nilai untuk nilai y yang besar positif dan untuk nilai x yang besar negatif.
Tentukanlah beberapa titik tertentu untuk memperhalus sketsa kurva.

Langkah Kedua
Dari langkah pertama, titik-titik yang didapat kita sajikan dalam bidang cartesius.

Langkah Ketiga
Titik - titik yang telah disajikan dalam bidang Cartesius pada langkah kedua, kemudian kita hubungkan dengan mempertimbangkan naik atau turunnya fungsi. Dengan demikian, kita akan mendapatkan kurva y = f(x).

Agar kalian lebih mudah dan terampil dalam memahami cara menggambar kurva suku banyak dengan persamaan y = f(x)  maka perhatikan baik-baik pembahasan contoh soal di bawah ini :

Soal :
Gambarlah sketsa kurva suku banyak yang ditentukan dengan persamaan y = f(x) = 4x - x3

Jawab :
Langkah Pertama
(a) Koordinat titik-titik potong dengan sumbu - sumbu koordinat.
Titik - titik potong dengan sumbu X adalah (-2, 0) (0, 0), dan (2,0)

(b) Dari f(x) = 4x - x3 maka f’(x) 4 - 3x2

Perhatikan diagram tanda pada gambar di bawah ini :

(c) Nilai stationer dan jenisnya

Nilai-nilai stationernya :
Untuk x1 = -2/3 √3 à f(-2/3 √3) = 4(-2/3 √3)3 = -16/9 √3

f(-2/3 √3 = -16/9 √3 merupakan nilai balik maksimum, sebab f’(x) berubah tanda dari positif menjadi negatif ketika melewati x = 2/3 3
Jadi, titik balik maksimumnya (2/3 √3), (16/9 √3) dan titik balik minimumnya (-2/3 √3), (16/9 √3)

(d) Untuk x  besar maka y = f(x) = 4x - x3 dekat dengan -x3
      Jika x besar positif, maka y  besar negatif
      Jika y besar negatif maka x  besar positif

(e) Ambil beberapa titik tertentu untuk memperbaiki sketsa kurva.


Langkah Kedua
Beberapa titik yang diperoleh pada langkah pertama diletakkan pada bidang Cartesius.

Langkah Ketiga
Titik - titik yang telah disajikan pada bidang Cartesius itu kemudian dihubungkan untuk memperoleh sketsa kurva yang mulus seperti pada gambar berikut ini :

Dalam hal ini perlu juga diperhatikan naik turunnya fungsi pada interval-interval yang telah ditentukan pada langkah 1 bagian (b)


Demikianlah penjelasan materi mengenai Cara Menggambar Grafik Fungsi Aljabar dilengkapi dengan pembahasan soal serta langkah-langkah penyelesaiannya.
Semoga artikel ini bisa membantu kalian terutama materi tentang bagaimana cara menggambar grafik fungsi aljabar.
Selamat belajar dan semoga bermanfaat!

1000+ Pengertian Program Linear Dan Model Matematika SMA Kelas 11 /Semua Udah Terbaru

Pengertian Program Linear dan Model Matematika - Program linear atau biasa juga disebut sebagai optimasi linear merupakan suatu program yang bisa dipakai dalam memecahkan masalah mengenai optimis. Di dalam masalah optimis linear, batasan-batasan atau kendala-kendalanya bisa kita terjemahkan ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Nilai-nilai peubah yang memenuhi suatu sistem pertidaksamaan linear berada pada suatu himpunan penyelesaian yang mempunyai beragam kemungkinan penyelesaian. Dari beragam kemungkinan penyelesaian tersebut terdapat sebuah penyelesaian yang memberikan hasil paling baik (penyelesaian optimum). Jadi, bisa disimpulkan bahwa tujuan dari masalah optimasi linear adalah untuk mengoptimumkan (memaksimalkan atau meminimumkan) sebuah fungsi f. Fungsi f ini disebut dengan fungsi sasaran, fungsi tujuan, atau fungsi objektif.

Pengertian Program Linear dan Model Matematika

Masalah optimasi linear seperti yang telah dijelaskan di atas banyak dijumpai dalam bidang produksi barang, distribusi barang, dalam bidang ekonomi, dan bidang-bidang lainnya yang termasuk ke dalam kajian riset operasional.

Pengertian Model Matematika Telah dijelaskan di atas bahwa dalam memecahkan masalah program linear kita harus bisa menerjemahkan terlebih dahulu mengenai kendala-kendala yang terdapat di dalam masalah program linear ke dalam bentuk perumusan matematika. Proses tersebut adalah yang dinamakan dengan model matematika. Model matematika bisa didefinisikan sebagai suatu rumusan matematika yang didapat dari hasil penafsiran seseorang ketika menerjemahkan suatu masalah program linear ke dalam Bahasa Matematika. Suatu model matematika dikatakan baik apabila di dalam model tersebut hanya memuat bagian-bagian yang dibutuhkan saja.

Agar kalian bisa lebih memahami materi ini, perhatikan baik-baik pembahasan contoh soal berikut ini :

Contoh Soal Model Matematika Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal 1 :
Susi membeli 6 buku tulis dan 8 pensil di sebuah toko buku. Uang yang harus dibayar oleh Susi berjumlah Rp.6.900. Sedangkan Rina hanya membeli 1 buah buku tulis dan 1 buah pensil dengan harga Rp. 1.050. Jika harga dari sebuah buku tulis dinyatakan dalam bentuk rupiah dan sebuah pensil dinyatakan dalam bentuk x dan y. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!

Jawab :
Berdasarkan jumlah uang yang dibayar oleh Susi, diperoleh hubungan :
6x + 8y = 6.900

Berdasarkan jumlah uang yang dibayar oleh Rina, diperoleh hubungan :
x + y = 1.050

Maka model matematikanya yaitu :
6x + 8y = 6.900 dan
x + y = 1.050 dengan x dan y ε C


Contoh Soal 2 :
Seorang siswa memilih jurusan IPA, jika memenuhi syarat - syarat berikut :
a. Jumlah nilai Matematika dan Fisika tidak kurang dari 12
b. Nilai masing - masing pada pelajaran tersebut tidak kurang dari 5
Buatlah model matematika yang bisa digunakan sebagai patokan agar seseorang siswa bisa memilih jurusan IPA!

Jawab :
Kita misalkan nilai matematika = x dan nilai fisika = y, maka dari syarat (a) diperoleh hubungan :
x + y ≥ 12

Dan dari syarat (b) diperoleh hubungan :
x ≥ 5 dan y ≥ 5

Maka, model matematika yang bisa digunakan untuk patokan agar seorang siswa bisa memilih jurusan IPA adalah :
x ≥ 5 dan y ≥ 5, dan x + y ≥ 12 ε C


Contoh Soal 3:
Sebuah lahan parkir hanya bisa menampung 200 mobil sedan. Jika tempat tersebut digunakan untuk memarkir Bis, maka 1 Bis akan menempati luas yang sama dengan 5 buah mobil Sedan. Apabila lahan tersebut diparkir x Bis dan y Sedan. Maka, tentukanlah model matematikanya!

Jawab :
Misalkan untuk memarkir sebuah mobil Sedan diperlukan luas rata - rata L m2. Maka luas lahan parkir yang tersedia adalah 200L m2 (L > 0).

Untuk memarkir sebuah Bis dibutuhkan lahan seluas 5L m2, sehingga untuk memarkir x Bis dan y Sedan diperoleh hubungan :
(5L)x + (L)y ≤ 200
5x + y ≤ 200

Karena banyaknya mobil Bis dan Sedan tidak mungkin negatif, sehingga :
x ≥ 0 dan y ≥ 0

Sehingga model matematika untuk persoalan di atas adalah :
x ≥ 0, y ≥ 0 dan 5x + y ≤ 200, dengan x dan y


Demikianlah pembahasan materi mengenai Pengertian Program Linear dan Model Matematika dilengkapi dengan pembahasan contoh soal. Semoga kalian bisa memahami penjelasan materi ini dengan baik sehingga artikel ini bisa membantu kalian dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan materi ini. Untuk materi selanjutnya akan dibahas mengenai Contoh Soal dan Penyelesaian Model Matematika dari Suatu Program Linear.
Selamat belajar dan semoga bermanfaat!

1000+ Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Kelas X SMA /Semua Udah Terbaru

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel - Dalam artikel sebelumnya Belajar Matematikaku telah menyampaikan materi mengenai Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Maka, materi kali ini akan dilanjutkan mengenai sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Pada materi di bawah ini akan dijabarkan mengenai pengertian, contoh soal, serta pembahasan tentang sistem pertidaksamaan dua variabel.

Pertidaksamaan linear bisa diartikan sebagai sebuah pertidaksamaan dimana peubah bebasnya memiliki bentuk linear (berpangkat satu). Perhatikan baik-baik bentuk-bentuk pertidaksamaan di bawah ini : 3x = 6 (pertidaksamaan linear dengan satu peubah) 2x + y < 0 (pertidaksamaan linear dengan dua peubah) 2x + 3y - 4z > 0 (pertidaksamaan linear dengan tiga peubah)
Pada postingan ini admin akan membatasi penjelasan hanya pada pertidaksamaan linear dua peubah. Gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dengan dua peubah bisa disebut sebagai pertidaksamaan linear dua variabel. Berikut beberapa contoh sistem persamaan linear dua variabel : 2x + 4y ≥ 16 x + y ≥ 8 x ≥ 0 y ≥ 0

Himpunan dan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Di bawah ini merupakan cara yang bisa dilakukan dalam menentukan himpunan ataupun daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan dua variabel : ax + by ≤ c
Pertama Buatlah garis ax + by = c dengan cara menentukan dua titik yang berbeda pada garis tersebut di dalam diagram cartesius. Diagram cartesius nantinya akan terbagi menjadi dua bagian yang dipisahkan oleh garis itu.
Kedua Lakukan substitusi terhadap sebuah titik pada salah satu bagian ke dalam sistem pertidaksamaan tersebut. Jika hasilnya merupakan pernyataan yang benar, artinya daerah tersebut merupakan penyelesaiannya, akan tetapi bila pernyataannya salah maka bagian lain lah yang menjadi penyelesaiannya.
Ketiga Arsirlah pada bagian yang menjadi daerah penyelesaian.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan baik-baik pembahasan contoh soal di bawah ini : Contoh Soal : 1. Tentukan daerah penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 12
Jawab : Gambar garis 2x + 3y  ≤12, pilih dua titik apabila x = 0 maka : 2.0 + 3y = 12 3y = 12 y = 12/3 = 4 titik (0,4)
Apabila y = 0 maka : 2x  + 3.0 = 12 2x = 12 x = 6 titik (6,0)
Pilihlah titik (0,0) kemudian substitusikan titik tersebut ke dalam pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 12. Dari perhitungan di atas diketahui hasilnya adalah 2 x 0 + 3 x 0 ≤ 12 atau 0 ≤ 12 sehingga pernyataannya bisa dianggap benar. Sehingga bisa disimpulkan bahwa daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut berada pada daerah yang ada di bawah garis sampai kepada garis yang menjadi batas 2x + 3y = 12. Sehingga jika digambarkan menjadi :


Demikianlah pembahasan materi mengenai Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Kelas X SMA semoga artikel ini bisa membantu kalian dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan materi ini.
Selamat belajar dan semoga bermanfaat!

1000+ Rumus Luas Permukaan Tabung Dan Cara Menghitungnya /Semua Udah Terbaru

Rumus Luas Permukaan Tabung - Dalam artikel kali ini Belajar Matematikaku akan membahas materi mengenai rumus luas permukaan tabung dilengkapi dengan pembahasan contoh soal.
Untuk lebih jelasnya perhatikan baik-baik penjelasan materi di bawah ini.

Rumus Luas Permukaan Tabung dan Cara Menghitungnya

Definisi dan Cara Menghitung Luas Permukaan Tabung Tabung sering diartikan sebagai sebuah bangun ruang yang dibatasi oleh dua buah sisi yang kongruen dan bersifat sejajar serta memiliki bentuk lingkaran sebuah sisi lengkung.
Ciri-Ciri Tabung => Tabung mempunyai 2 buah rusuk => Alas dan tutupnya berbentuk lingkaran => Tabung mempunyai 3 bidang sisi. Sisi yang pertama adalah bidang alas, sisi yang kedua adalah bidang selimut, dan sisi yang ketiga adalah bidang tutup.
Jenis-Jenis Rumus Tabung Untuk mengetahui volume dari sebuah tabung kita bisa menggunakan rumus = alas x tinggi Luas alas tabung = πr2 Volume tabung juga bisa dihitung dengan menggunakan rumus = πr2t Keliling alas atau tutup tabung bisa dihitung dengan menggunakan rumus = 2πr Luas selimut tabung bisa dihitung dengan menggunakan rumus = 2πrt (2 x π x r x t) Luas permukaan tabung bisa dihitung dengan menggunakan rumus = 2 x luas alas + Luas selimut tabung Rumus Luas permukaan tabung yang sebenarnya bisa dilihat pada gambar berikut ini :

Contoh Soal Pak Joko adalah seorang pembuat drum. Suatu hari ia mendapatkan pesanan dari seseorang untuk membuat sebuah drum dengan diameter 50 cm dan tinggi 70 cm. Maka berapakah luas bahan yang dibutuhkan oleh Pak Joko untuk membuat drum tersebut?
Jawab:

Demikianlah pembahasan materi mengenai Rumus Luas Permukaan Tabung dan Cara Menghitungnya, semoga kalian bisa memahami dengan mudah apa yang telah disampaikan di atas dan semoga artikel ini bisa membantu kalian dalam mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan artikel ini. Selamat belajar dan semoga bermanfaat!

1000+ Cara Menghitung Rumus Volume Tabung Silinder Contoh Soal Dan Pembahasan Lengkap /Semua Udah Terbaru

Rumus Volume Tabung - Dalam artikel sebelumnya Belajar Matematikaku telah menyampaikan materi tentang Rumus Luas Permukaan Tabung dan Cara Menghitungnya. Artikel kali ini masih berhubungan dengan tabung atau silinder yaitu tentang rumus cara mencari volume tabung. Tabung merupakan sebuah bangun ruang yang memiliki 2 rusuk yang menghubungkan alas dan tutup yang berbentuk lingkaran. Bidang sisi pada tabung terdapat 3 bagian yaitu alas, tutup, dan selimut. Lalu, bagaimanakah cara mengetahui volume atau isi dari sebuah tabung?
Perhatikan baik-baik penjelasan materi di bawah ini.


Rumus Volume Tabung (Silinder) Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap Untuk mengetahui volume ataupun isi dari sebuah tabung maka kita harus mengetahui jari - jari atau diameter dari penampang (alas/tutup) tabung tersebut. Perlu diingat bahwa diameter nilainya sama dengan dua kali jari-jari (diameter = 2 x jari - jari).

Volume tabung bisa diketahui dengan cara mengalikan luas alas tabung dengan tinggi dari tabung tersebut. Dikarenakan alas tabung memiliki bentuk lingkaran, maka rumus volumenya bisa disusun dengan mengalikan rumus luas lingkaran dengan tinggi tabung. Rumusnya seperti di bawah ini :
V = phi x jari-jari x jari-jari x tinggi
    =  π x r x r x t
    =  πr2 x t

Jika yang diketahui adalah diameternya, maka rumusnya bisa diubah menjadi :
V = 1/4 x π x diameter x diameter x t


Simak baik-baik penggunaan rumus tersebut ke dalam soal-soal :
Contoh Soal Cara Mencari Volume Tabung dan Pembahasannya Contoh Soal 1 :
Diketahui sebuah tabung mempunyai jari-jari 7 cm dan mempunyai tinggi 5 cm. Hitunglah luas permukaan dan volume dari tabung tersebut!

Penyelesaian :
Luas permukaan tabung :
= π x r2
= 22/7 x 72
= 154 cm2

Untuk mengetahui volume tabung kita cukup mengalikan luas permukaan alas dengan tingginya :
V = Luas permukaan x t
    = 154 x 5 = 770 cm3


Contoh Soal 2 :
Sebuah tabung memiliki jari-jari 21 cm dan memiliki tinggi 13 cm. Maka hitunglah volume dari tabung tersebut!

Penyelesaian :
V = πr2 x t
    = 22/7 x 212 x 13
    = 1386 x 13
    = 18018 cm3

Demikianlah pembahasan materi mengenai Cara Menghitung Rumus Volume Tabung (Silinder), semoga kalian bisa memahami apa yang telah disampaikan dengan baik sehingga artikel ini bisa membantu kalian dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan materi ini.
Selamat belajar dan semoga bermanfaat!

1000+ Contoh Soal Cerita Volume Tabung Dan Pembahasannya /Semua Udah Terbaru

Volume Tabung - Dalam artikel sebelumnya Belajar Matematikaku telah menyampaikan materi mengenai Cara Menghitung Rumus Volume Tabung (Silinder). Untuk menambah wawasan kalian mengenai materi tersebut kali ini akan diberikan lagi beberapa contoh soal mengenai volume tabung dalam bentuk cerita-cerita sederhana. Perhatikan baik-baik pembahasan soal-soal tersebut.

Pembahasan Contoh Soal Cerita Volume Tabung Contoh Soal 1 :
Sebatang pipa berbentuk tabung memiliki panjang 14 meter dan berjari-jari 3 cm. Berapa literkah volume pipa tersebut?

Penyelesaian :
Diketahui :
Jari-jari (r) = 3 cm
tinggi (t) = 14 m = 1400 cm
Ditanya : Volume tabung (v)?
Jawab :
Jadi, volume pipa tersebut adalah 39,6 liter.

Contoh Soal 2 :
Sebanyak 165 liter bensin dituangkan ke dalam drum berbentuk tabung dengan jari-jari 30cm. Berapakah ketinggian bensin dalam drum tersebut?

Penyelesaian :
Diketahui :
Volume (v) = 165 liter = 165.000 cm
Jari-jari (r) = 30 cm
Ditanya : tinggi (t) ?
Jawab :
Jadi, ketinggian bensin dalam drum tersebut adalah 58,38 cm3.

Contoh Soal 3 :
Sebuah tabung mempunyai jari-jari berukuran 10 cm. Jika tingginya 21 cm, maka tentukanlah volume tabung tersebut!

Penyelesaian :
Diketahui :
Jari-jari (r) = 10 cm
Tinggi (t) = 21 cm
Ditanya : Volume tabung (v) ?
Jawab :
Jadi, volume tabung tersebut adalah 6600 cm3.


Contoh Soal 4 :
Rendy memiliki tangki minyak berbentuk tabung dengan tinggi 2 meter. Jika diisi minyak hingga penuh, tangki tersebut bisa menampung sebanyak 2260,8 liter minyak. Berapa volume tangki milik Rendy?

Penyelesaian :
Diketahui :
Volume (v) = 2260,8 liter = 2.260.800 cm
Tinggi (t) = 2 m = 200 cm
Ditanya : Jari-jari (r) ?
Jawab :
Jadi, jari-jari tangki tersebut adalah 60 cm.


Contoh Soal 5 :
Sebuah drum berbentuk tabung memiliki volume 88.704 cm. Jika tingginya 36 cm, tentukanlah ukuran jari-jari tabung tersebut!

Penyelesaian :
Diketahui :
Volume (v) = 88.704 cm
Tinggi (t) = 36 cm
Ditanya : Jari-jari (r) ?
Jawab :
Jadi, jari-jari tangki tersebut adalah 28 cm.


Itulah beberapa Contoh Soal Cerita Volume Tabung dan Pembahasannya yang bisa kalian pelajari untuk memahami bagaimana langkah-langkah yang harus dilakukan ketika menjumpai soal-soal serupa. Semoga artikel ini bisa membantu kalian dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan materi ini.
Selamat belajar dan semoga bermanfaat!

1000+ Contoh Soal Cara Mencari Volume Kerucut Dan Pembahasannya /Semua Udah Terbaru

Volume Kerucut - Dalam artikel sebelumnya Belajar Matematikaku telah menyampaikan materi mengenai Rumus Cara Mencari Volume Kerucut Beserta Contoh Soalnya. Dalam postingan kali ini akan dibahas lagi beberapa contoh soal mengenai volume kerucut. Kami juga akan memberikan bagaimana langkah-langkah untuk menyelesaikan soal-soal tersebut. Mari langsung saja kita simak pembahasan soalnya di bawah ini:


Contoh Soal Cara Mencari Volume Kerucut Serta Pembahasannya Contoh Soal 1 :
Sebuah kerucut memiliki tinggi 15 cm dan jari-jarinya 7 cm. Hitunglah volume kerucut tersebut!

Penyelesaiannya:
Diketahui :
Jari-jari (r) = 7 cm
Tinggi (t) = 15 cm
Ditanya : volume kerucut (v) ?
Jawab :
Jadi volume kerucut tersebut adalah 770 cm3 
Contoh Soal 2 : Pasir sebanyak 12.320 m3 ditumpuk hingga membentuk kerucut dengan ketinggian 15 meter. Tentukanlah jari-jari alas tumpukan pasir tersebut!
Penyelesaian : Diketahui : Volume (v) = 12.320 m3 Tinggi (t) = 15 m Ditanya : Jari-jari(r) ? Jawab : Jadi, jari-jari alas tumpukan pasir tersebut adalah 28 cm.
Contoh Soal 3 : Arya ingin membuat kerucut yang memiliki volume 192,5 cm3 dan jari-jari 3,5 cm. Berapakah tinggi kerucut yang akan dibuat oleh Arya?
Penyelesaian : Diketahui : Volume (volume) = 192,5 cm Jari-jari (r) = 3,5 cm Ditanya : tinggi (t) ? Jawab : Jadi, tinggi kerucut tersebut adalah 15 cm

Contoh Soal 4 : Sebuah kerucut memiliki volume 1.004.800 liter dan jari- 80 dm. Tentukanlah tinggi kerucut tersebut!
Penyelesaian : Diketahui : Volume (v) = 1.004.800 liter Jari-jari (r) = 80 dm Ditanya : tinggi (t)? Jawab : Jadi, tinggi kerucut tersebut adalah 15 meter
Contoh Soal 5 : Sebuah kerucut memiliki alas seluas 176 cm2. Tentukanlah volume kerucut tersebut jika diketahui tingginya 18 cm!
Penyelesaian : Diketahui : Luas alas (L) = 176 cm2 Tinggi (t) = 18 cm Ditanya : volume tabung (v)? Jawab : Jadi, volume kerucut tersebut adalah 1056 cm3
Demikianlah pembahasan materi tentang Contoh Soal Cara Mencari Volume Kerucut Dan Pembahasannya yang bisa kalian pelajari agar bisa menyelesaikan soal-soal serupa pada saat ulangan semester ataupun ujian. Selamat belajar dan semoga bermanfaat!